De una manera general, el planeamiento factorial puede ser representado por , donde "a" es el número de factores "b" es el número de niveles escojidos. En el ejemplo mostrado en la Tabla 4, se verifica que fueron escojidos dos diferentes niveles para los 3 factores; temperatura, concentración y catalisador. En función de este número de factores y de niveles, este planeamiento factorial puede ser indicado como siendo 2³, lo que ya sugiere que el número de experimentos diferentes a ser realizados es 8.

En general, los planeamientos factoriales del tipo son los más comunes. Uno de los aspectos favorables a este tipo de planeamiento es la realización de pocos experimentos. Es óbvio que con un número reducido de niveles no es posible explorar de manera completa una región grande en el espacio de las variables. Por lo tanto podemos observar tendencias importantes para la realización de investigaciones posteriores.

Si bién en el ejemplo de la Tabla 4, las 3 variables hayan sido estudiadas con el mismo número de niveles, se puede tener planeamientos factoriales en que sea interesante explotar una o más variables con un número de niveles diferente que las demás. De esta forma la representación del factorial pasa a ser, por ejemplo, 2¹ x 3¹ x 5¹, esto es, 2, 3 y 5 son niveles para las variables b₁, b₂ y b₃, respectivamente.


Realización de experimentos y cálculo del error experimental

Algunos cuidados deben ser observados para que se pueda obtener la máxima información en la realización del planeamiento factorial. Entre estos se encuentran la necesidad de realizar repeticiones de algunos ensayos para que se pueda estimar el error experimental. Los replicas deben ser repeticiones auténticas, debiendo representar adecuadamente el espacio experimental en el cual el planeamiento factorial fue desarrollado. Otro cuidado a ser observado se refiere a la realización de los experimentos. Es importante que todos los ensayos y replicas previstos en el desarrollo del factorial sean realizados de forma aleatoria. Estos cuidados tienen por objetivo evitar distorsiones estadísticas que puedan comprometer la calidad de los resultados obtenidos y de los efectos calculados para las variables estudiadas.

En los planeamientos experimentales donde las variables son exploradas en 2 niveles es común codificarlos usando los signos (+) y (-). El atributo de estos signos a los niveles superiores o inferiores es hecho de forma arbitraria y no interfiere en la realización de los experimentos o interpretación de los resultados, además de permitir esquematisar el planeamiento en la forma de matrices de planeamiento. A partir de estas consideraciones, el ejemplo anterior puede ser representado por la Tabla 5, donde los resultados de las medidas en duplicado y sus medias son mostradas. La respuesta sería, por ejemplo, el rendimiento de una planta piloto industrial.

Tabla 5: Matriz de Planeamiento

Esta codificación de variables, aunque paresca desnecesaria, es de gran ayuda cuando se realizan los cálculos para determinar cual es la influencia de las variables estudiadas y de sus interacciones en el sistema en estudio.


Cálculo de los efectos principales y de interacción

Los efectos son definidos como "la variación ocurrida en la respuesta, cuando esta se mueve del nivel bajo (-) hacia el nivel alto (+)" y pueden ser clasificados en dos categorias: efectos principales y efectos de interacción.

Para el cálculo de los efectos, además de la codificación de las variables utilizando los signos (+) y (-), es necesario incluir 4 columnas más en la matriz de planeamiento del ejemplo citado (Tabla 6). El contenido de estas cuatro columnas representan el efecto de la interacción entre las variables y es obtenido llevando en cuenta los signos ya atribuidos a las variables involucradas, como sí fuese una operación matemática de multiplicación. Para el caso del experimento en la Tabla 6, la interacción entre la temperatura (-) y la concentración (-), genera un signo (+), característico de la interacción entre T y C, representado como (TC). Todas las otras interacciones pueden ser tratadas de la misma forma.

Tabla 6: Matriz de planeamiento conteniendo los efectos de interacción

Efecto Principal =

Donde: y corresponde a la media de los efectos individuales de la medida; ( + ) y (-) corresponde al nivel alto y nivel bajo, respectivamente; y corresponde al número total de experimentos del planeamiento.

Ejemplo: Efecto de la Temperatura, (T):

Sustituyendo en la equación:

Una otra manera de llegar al mismo resultado sería usar el esquema del cálculo mostrado a continuación:

Observe que en este procedimiento, el efecto principal fue calculado a través de la diferencia entre los ensayos para los 2 niveles de temperatura, fijando la concentración y el catalisador. Esta forma de calcular, si bién no es la más práctica, conforme descrito por la fórmula, permite verificar exatamente lo que ocurre en la mudanza de niveles de la variable estudiada. La sumatoria de los efectos individuales calculados es entonces dividida por 4, obteniéndose la media de los efectos, correspondiente al efecto principal de la temperatura.


Efectos secundarios de Interacción (o de 2orden):

En este caso, la interacción trifactorial Temperatura x Concentración x Catalisador, (TCK), puede ser definida como:

donde: n corresponde al número de replicas de cada conjunto, a es el número de factores y S² es la estimativa muestral de la varianza de la población.

Asumiendo que existen n replicas para cada uno de los experimentos del planeamiento (en el caso, 2³), y sí y_i1, y_i2, y_i3, ..., y_in son observaciones del i-ésimo experimento, se puede decir que:

es una estimativa de la varianza para el i-ésimo experimento, donde i=1,2,3,..., es la media respectiva. Combinando las estimativas de los experimentos, se tiene la estimativa de la varianza total:

Considerando entonces que S² es una buena estimativa de la varianza poblacional s², puede escribirse como:

Para el ejemplo mostrado en la Tabla 6, tenemos n=2 (dos replicas); a=3 (tres factores), y el valor de s² estará dado por:

Efectuando la sumatoria, , de tal forma que:

Así, los efectos y la desviación estandar del efecto del factorial del ejemplo serán:

Interpretación de los efectos del factorial

La interpretación del resultado puede ser facilitada con el auxílio de la figura 10, en la cual están representadas graficamente las respuestas obtenidas para los experimentos realizados en función de las variables estudiadas. Este tipo de representación es bastante utilizada y tiene como objetivo dar una visión global de como las variables optimizadas actuan sobre la respuesta del sistema químico en estudio.

Analizando los valores de los efectos (principal y de interacción) y considerándose la desviación estandar de estos efectos, se puede concluir basicamente que:

1. Las informaciones obtenidas por el cálculo de los efectos principais indican que la temperatura tiene un efecto positivo marcante (+23) y que la concentración tiene efecto sensible, pero opuesto (-5).

2. Por los cálculos de los efectos secundarios se nota que los efectos de la temperatura y del catalisador no pueden ser interpretados separadamente, en razón del gran valor de interacción entre ellos (+10). Los otros efectos de interacción son despreciables.

Así, este análisis sugiere que el mejor rendimiento deberia ser obtenido con el catalisador B, temperatura más elevada y concentración más baja.

A partir de este ejemplo se nota que el planeamiento factorial no determina valores óptimos en una única etapa, mas este procedimiento indica satisfactoriamente el caminho a ser tomado para que se pueda alcanzar el objetivo propuesto.

Planeamiento factorial fraccionado

Es evidente que en el método del planeamiento factorial, el número de experimentos puede ser muy elevado, mismo tratándose de un factorial de dos niveles, pués esto depende del número de variables que serán evaluadas. Sin embargo, de manera general, las interacciones de orden alto (tercero, cuarto o superiores) son pequeñas y pueden ser confundidas con la desviación estandar de los efectos. De esta forma, es posible efectuar un planeamiento factorial parcial sin que sea necesaria la determinación de todos los parámetros de interacción. En este caso, se puede disminuir el número de experimentos y aún determinar los efectos más importantes (principales y de interacciones de segundo orden). Este tipo de planeamiento factorial es llamado de Planeamiento Factorial Fraccionado [10,12].

Los factoriales fraccionados más aplicados son los del tipo , y son llamados de "1/2 factorial", donde a = de variables estudiadas. Factoriales con otras fracciones también pueden ser aplicados. Un factorial fraccionado (es decir, cuatro variables a dos niveles cada una) es ejemplificado en la tabla 7.

Tabla 7: Ejemplo de factorial fraccionado  

Construcción del Planeamiento Factorial Fraccionado ):

Como ejemplo, tomemos el Factorial Fraccionado , citado en la Tabla 7.

1. Se hace el planeamiento factorial 2³ completo (4 - 1 = 3) en las variables A, B e C.

2. Los signos de las columnas A, B y C son multiplicados y se encuentra el signo para la variable D, para cada uno de los experimentos a ser realizados.

Los efectos y la desviación estandar de los efectos, en este tipo de factorial, son calculados de la misma forma que son calculados en el planeamiento factorial completo. La ventaja que el planeamiento factorial fraccionado presenta sobre el planeamiento factorial completo, es la de permitir evaluar los efectos principales y de interacciones de segundo orden con un número menor de experimentos. Por otro lado, la desventaja evidente es que para evaluar los efectos de interacción de orden superior es necesario completar el factorial con experimentos adicionales. Las aplicaciones más significativas del planeamiento factorial fraccionado han sido para conocerse el comportamiento de las variables en sistemas complejos y evaluar el comportamiento de interferentes en métodos analíticos [10,12].