Este método es clasificado como un método simultáneo, siendo utilizado en la etapa de optimización propiamente dicha. Su aplicación permite seleccionar la combinación de niveles óptimos en la obtención de la mejor respuesta para una dada situación [7].

En el método de análisis de la superficie de respuestas son realizados planeamientos factoriales, y los resultados son ajustados usando modelos matemáticos. Estas etapas son conocidas como etapa de desplazamiento y modelamiento, respectivamente, son repetidas várias veces, mapeando la superficie de respuestas obtenida en la dirección de la región del punto óptimo deseado. El modelamiento normalmente es hecho ajustándose los modelos más simples, como el lineal y el cuadrático. Al mismo tiempo, el planeamiento factorial, ejecutado generalmente, consiste de un número pequeño y pré - determinado de experimentos, que son escogidos a través del ajuste conseguido para el modelo que fue aplicado en la etapa inmediatamente anterior. Otro detalle importante es el uso de variables en forma escalada, de forma que su tamaño no interfiera en el desarrollo del proceso de optimización. Los cuidados para la realización de los experimentos y de sus replicas deben ser observados. Comunmente el modelamiento es iniciado utilizándose el modelo lineal. Para eso se realiza un planeamiento factorial de primer orden. A través del ejemplo mostrado a continuación ilustraremos tal procedimento:

Ejemplo: "Determinar los valores de tempo (t) y temperatura (T) que producen un rendimento químico máximo[10].

A través de un planeamiento factorial anterior, se verificó que hay un máximo con el tempo de 75 min, temperatura de 130 °C y que s = 1,5.

Planeamiento de primer orden:

Tomando el punto inicial, t = 75 min y T = 130 °C, como punto central y variando el tiempo de 70 para 80 min y la temperatura de 127,5 para 132,5 °C, se construye un planeamiento factorial 2² con punto central y con variables escaladas.

 

Escalonamiento de las variables:

Xn = variable escalonada,
Xi = valor inicial
DX= escalón o paso, entonces;

y

 

Las variables escalonadas, los experimentos previstos y sus resultados son mostrados en la Tabla 8.

Tabla 8: Resultados del planeamiento factorial 2² por triplicado en el punto central:

 
Variáveis
 
 
Reales
Escalonadas
Respuestas
Experimento
t (min)
T (°C)
X1
X2
Rend., g
1
70
127,5
-1
-1
54,3
2
80
127,5
+1
-1
60,3
3
70
132,5
-1
+1
64,6
4
80
132,5
+1
+1
68,0
5
75
130,0
0
0
60,3
6
75
130,0
0
0
63,3
7
75
130,0
0
0
62,3


Esquematicamente podemos representar el planeamiento factorial adoptado en términos de las variables escalonadas, como en la Figura 11:

Este planeamiento es denominado de Plano de Primer Orden porque permite el ajuste de un modelo polinomial de primer grado del tipo:

Este modelo es escojido inicialmente porque en esta etapa de la investigación, normalmente se piensa estar a una distancia alejada del máximo. Y el plano escojido:

a) permite al modelo planar estar suficientemente ajustado,

b) permite la realización de exámenes para determinar sí el modelo está teniendo una representación adecuada, y

c) dá alguna estimativa del error experimental.

Los valores de los coeficientes del polinómio de primer grado pueden ser estimados a través de la resolución por mínimos cuadrados donde de forma directa tendremos que:

bo es la media de las siete observaciones, esto es, bo = 62,01.

El coeficiente b1 es la variación que ocurre en la respuesta cuando X1 es cambiado en una unidad (escalonada). El efecto lineal principal en un planeamiento factorial con variables escalonadas, es decir, es la mudanza en la respuesta cuando X1 es variado de -1 para +1 , esto es, dos unidades. Entonces b1 es la mitad del efecto lineal principal, osea, b1 = 2,35. Similarmente, b2 = 4,50. Entonces,

 

Y = 
62,01
+
 2,35 X1
+
 4,50 X2
(± 0,57)
(± 0,75)
(± 0,75)

 

donde la desviación estandar de cada coeficiente de la ecuación es calculada suponiendo que, s = 1,5, y :

S =
 onde,

p = número de parâmetros

n = número de ensaios

Para:
 bo ® p = 1 n = 7
 
 b1 ® p = 1 n = 4
 
 b2 ® p = 1 n = 4

Aunque, el intento de cálculos por mínimos cuadrados asuma como el más adecuado, el modelo planar de primer orden, el planeamiento escojido permite hacer la verificación de tal suposición.

El modelo planar supone que los efectos de las variables son acumulativos. Las interacciones entre las variables podrian ser medidas por el coeficiente b12 del producto cruzado del término X1X2 adicionado en el modelo. Este coeficiente es calculado por:

 

La desviación estandar de esta estimativa es 0,75, la misma que para b1 y b2 (fue usado s = 1,5 como anteriormente), por lo tanto, la interacción X1X2 es despreciable.

Otra verificación de la planaridad local es dada por la comparación YF (media de los cuatro puntos del factorial 2²) con YC (media de las medidas en el centro del plano). Admitiendo que el plano este situado sobre una superficie curva en forma de "dulceras", el valor de YF - YC, es una medida de la curvatura de la superficie. Se puede demostrar también que sí b11 y b22 son coeficientes de los términos X12 y X22, respectivamente, la medida de la curvatura puede ser un estimado de b11 + b22. Entonces el estimado de la curvatura total es:


 

Usando s = ± 1,5, tenemos que la desviación estandar de esta estimativa es ± 1,15. Por lo tanto, no hay razón para cuestionar el uso del modelo planar en este ejemplo, ya que:

Entonces aceptando la ecuación de contorno para aquella región de superficie, tenemos:

Haciendo Y = 56; 60; 64 y 68, respectivamente, tendremos una serie de ecuaciones espaciadas paralelamente, tal como lineas de contorno rectas (Figura 12).

El Camino de Subida hacia el Máximo corresponde a una linea perpendicular a las lineas de contorno de la superficie de respuestas, partiendo del punto central del planeamiento factorial en dirección a regiones de respuestas mejores. El camino de subida máxima puede ser obtenido a través del gráfico (Figura 13) o calculando los valores de los puntos como se indica a continuación:

Comenzando del centro de la región experimental, el camino seguido es el movimiento simultaneo de b2 = + 4,30 unidades en X2 para cada b1 = + 2,35 unidades movidas en X1, o equivalente a 4,50 / 2,35 = 1,91 unidades en X2 para cada unidade en X1.

Para el ejemplo adoptado anteriormente, una serie de experimentos convenientes fue escojida sobre el camino de subida máxima en las condiciones definidas por este camino, conforme mostrado en la Tabla 9.


Tabla 9: Camino de subida hacia el máximo.

 
Variables
 
 
Reales
Escalonadas
Respuestas
Experimentos
t (min)
T (°C)
X1
X2
Rend., g
0
75
130,0
0
0
62,3*
1
80
134,8
1
1,91
73,3
2
90
144,4
3
5,74
86,8
3
100
153,9
5
9,57
58,2

* Media de los resultados del punto central.

El experimento 3 dió un rendimiento de 58,2 menor que el rendimiento del experimento 2, indicando que el movimiento de 2 para 3 fue muy grande, pasando la región de mejor respuesta. Por lo tanto, la región comprendida entre 90-100 min y 144-154 °C debe ser más explorada.

 

Segundo planeamiento de primer orden:

Un nuevo planeamiento fatorial 2² con punto central situado próximo al experimento 2 (Tabla 9) es efectuado (es decir, tiempo de 90 min y temperatura de 145 °C). Este planeamiento exploró la región: tiempo 80 a 100 min y temperatura 140 a 150 °C, y los resultados se encuentran en la Tabla 10. 

 


Tabla 10: Segundo planeamiento factorial 2²con replicas en el punto central

     
Variables
 
 
Variables reales
Escalonadas
Respuestas
Experimentos
t (min)
T (°C)
X1
X2
Rend., g
1
80
140,0
-1
-1
78,8
2
100
140,0
+1
-1
84,5
3
80
150,0
-1
+1
91,2
4
100
150,0
+1
+1
77,4
5
90
145,0
0
0
89,7
6
90
145,0
0
0
86,8


Aplicando nuevamente el modelo polinomial de primer grado tenemos la equación de la superficie de respuestas:

Y = 
84,73
-
 2,03 X1
+
 1,33 X2
(± 0,61)
(± 0,75)
(± 0,75)

Aplicando nuevamente el modelo polinomial de primer grado tenemos la ecuación de superficie de respuestas:

Estos valores muestran que la situación actual la ecuación polinomial de primer grado es inadecuada para representar la función de respuesta local.

Planeamiento de segundo orden:

Debido a que la aproximación polinomial de primer grado se mostró inadecuada en la nueva región experimental, una aproximación polinomial de segundo grado deberá ser considerada ahora:

Para estimar eficientemente los seis coeficientes de este modelo y para obtener un análisis y determinación del error apropiados, el segundo factorial (Tabla 10) fue ampliado con un planeamiento tipo estrella. Este planeamiento está constituido por cuatro puntos axiales y dos nuevas replicas para el punto central, tal como mostrado en la Tabla 11.


Tabla 11: Planeamiento factorial complementar tipo estrella.

 
Variables
 
 
Reales
Escalonadas
Respuestas
Experimentos
t (min)
T (°C)
X1 X2
Rendimento, g
7
76
145,0
- (2)1/2
0
83,3
8
104
145,0
+ (2)1/2
0
81,2
9
90
138,0
0
- (2)1/2
81,2
10
90
152,0
0
+ (2)1/2
79,5
11
90
145,0
0
0
87,0
12
90
145,0
0
0
86,0


Reuniendo los puntos experimentales de las Tablas 10 y 11 podemos tener una visión de las regiones de las variábles que fueron exploradas, tal como representado en la Figura 14.

El ajuste de la ecuación de segundo grado por mínimos cuadrados para los resultados del planeamiento factorial compuesto (experimentos de 1 a 12, Tablas 10 y 11) generan la siguiente ecuación:

Se recomienda el uso de programa computacional de múltiple regresión lineal para obtener los coeficientes de estas ecuaciones, lo que disminuye la probabilidad de errores en la manipulación de los números. Con respecto a la ecuación de segundo grado para la superficie de respuestas, tenemos que la verificación de la validez del modelo nos dá:

 

Se nota que el modelo polinomial de segundo grado es ligeramente inadecuado, por lo tanto:

a)se acepta el modelo;

b)se desplaza el sistema más cerca al máximo, o

c)se busca un modelo con polinómio de tercer grado.

Aceptando el modelo, se observa la superficie de respuesta representada por las lineas de contorno de la Figura 15.

En este ejemplo del método de la superficie de respuestas, admitiendo, por lo tanto, que los efectos de tercer orden son insignificantes, debido a la maximización analítica de la ecuación polinomial de segundo grado que representa la superficie de respuestas, se llega a los valores de X1 y X2 que maximizan Y. Se obtiene, por lo tanto los valores de tiempo de reacción y temperatura que tornan el rendimiento máximo.